Piece of Paper: 2011

Akar-akar persamaan kuadrat $x^2+(a-1)x+2=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$ . Jika $\alpha=2\beta$ dan a> 0 maka nilai a=…
A. 2 B. 3
C. 4
D. 6
E. 8

Jawab:

ingat sifat akar-akar dalam persamaan kuadrat:
$\begin{align*}\;x_1.x_2 & = & \frac ca\\\alpha.\beta & = & \frac 21\\2\beta.\beta & = & 2\\\beta^2 & = & 1\\\beta & = & \pm 1\end{align*}$
ambil $\beta=1$
$\dpi{100} \bg_white \begin{align*}\;x_1+x_2 & = & -\frac ba\\\alpha+\beta & = & -\;\frac{(a-1)}{1}\\2\beta+\beta & = & -a+1\\3\beta & = & -a+1\\3.(-1) & = & -a+1\\a & = & 4\end{align*}$
Diketahui fungsi $\dpi{100} \bg_white f(x)=\frac{x+1}{x-3}\;,x\neq3$ dan $g(x)=x^2+x+1$ . Nilai komposisi fungsi $(g\circ{f})(2)=$
A. 2 B. 3
C. 4
D. 7
E. 8

Jawab

$\dpi{100} \bg_white (g\circ f)(x)=\left (\frac{x+1}{x-3} \right )^2+\left ( \frac{x+1}{x-3} \right )+1$ subtitusikan nilai x = 2
$\begin{align*}(g\circ f)(2) & = & \left ( \frac{2+1}{2-3} \right )^2+\left ( \frac{2+1}{2-3} \right )+1\\ & = & \left ( \frac{3}{-1} \right )^2+\left ( \frac{3}{-1} \right )+1\\ & = & 9-3+1\\ & = & 7\end{align*}$
Diketahui $\dpi{100} \bg_white f(x)=\frac{1-5x}{x+2}\;,x\neq-2$ dan $f^{-1}(x)$ adalah invers dari f(x). Maka nilai $f^{-1}(-3)=$
A. $\frac 43$ B. 2
C. $\frac 52$
D. 3
E. $\frac 72$

Jawab

ingat rumus cepat mencari invers dari $\dpi{100} \bg_white f(x)=\frac{{\color{Red} a}x+b}{cx+{\color{Red} d}}$ adalah $\dpi{100} \bg_white f^{-1}(x)=\frac{{\color{Red} -d}x+b}{cx{\color{Red} -a}}$
hati-hati bentuk soal belum seperti standar untuk rumus cepat, sehingga harus kita ubah dulu menjadi :

$\dpi{100} \bg_white \begin{align*}f(x) & = & \frac{1-5x}{x+2}\\f(x) & = & \frac{{\color{Red} -5}x+1}{x+{\color{Red} 2}}\\f^{-1}(x) & = & \frac{{\color{Red} -2}x+1}{x+{\color{Red} 5}}\\f^{-1}(-3) & = & \frac{-2(-3)+1}{(-3)+5}\\ & = & \frac 72\end{align*}$
Toko A, toko B dan toko C menjual sepeda. Ketiga toko tersebut selalu berbelanja di distributor sepeda yang sama. Toko A harus membayar Rp5.500.000; untuk pembelian 5 sepeda jenis I dan 4 sepeda jenis II. Toko B harus membayar Rp 3.000.000; untuk pembelian 3 sepeda jenis I dan 2 sepeda jenis II. Jika toko C membeli 6 sepeda jenis I dan 2 sepeda jenis II, maka toko C harus membayar sebesar….
A. Rp 3.500.000; B. Rp 4.000.000;
C. Rp 4.500.000;
D. Rp 5.000.000;
E. Rp 5.500.000;

Jawab

* misalkan x = sepeda jenis I
y = sepeda jenis II
* untuk mempermudah,nyatakan rupiah dalam ribuan rupiah, didapat persamaan:
$\begin{array}{rcl}A:\;5x+4y=5500 & [.1] & 5x+4y=5500\\B:\;3x+2y=3000 & [.2] & \underline{6x+4y=6000}\;(-)\\ & \leftrightarrow & \;-x\;\;\;\;\;=-500\\ & \leftrightarrow & \;\;\;\;\;x\;\;\;\;\;=500\end{array}$
* subtitusikan ke B
$\begin{array}{rcl}3x+2y & = & 3000\\3(500)+2y & = & 3000\\2y & = & 1500\\y & = & 750\end{array}$
* Subtitusikan ke C
$\begin{array}{rcl}C & = & 6x+2y\\ & = & 6(500)+2(750)\\ & = & 3000+1500\\ & = & 4500(dlm\;ribuan)\end{array}$

Sehingga C harus membayar Rp 4.500.000;
Grafik fungsi kuadrat $f(x)=x^2+bx+4$ menyinggung garis $y=3x+4$ . Nilai b yang memenuhi adalah….
A. -4 B. -3
C. 0
D. 3
E. 4

Jawab

$\begin{array}{ccl}f(x) & = & y\\x^2+bx+4 & = & 3x+4\\x^2+bx-3x+4-4 & = & 0\\x^2+(b-3)x & = & 0\end{array}$
* garis y menyinggung grafik fungsi f(x) sehingga D = 0
$\begin{array}{ccl}D & = & 0\\b^2-4ac & = & 0\\(b-3)^2-4.1.0 & = & 0\\(b-3)^2 & = & 0\\b & = & 3\end{array}$
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $(x-4)^2+(y-5)^2=8$ yang sejajar dengan $y-7x+5=0$ adalah….
A. $y-7x-13=0$ B. $y+7x+3=0$
C. $-y-7x+3=0$
D. $-y+7x+3=0$
E. $y-7x+3=0$

Jawab:

* Persamaan umum lingkaran di pusat (a,b) adalah $\dpi{100} \bg_white (x-{\color{Red} a})^2+(y-{\color{Red} b})^2=r^2$
* Persamaan lingkaran $(x-4)^2+(y-5)^2=8$ maka berpusat di (4,5) dengan $r=\sqrt 8$

* Persamaan Garis dengan gradien m adalah $y=mx+c$
$\begin{array}{rcl}y-7x+5 & = & 0\\y & = & 7x-5\;\;maka\;\;m=7\end{array}$

$m_1=7$ karena sejajar, maka gradien sama $m_1=m_2=7$

* Persamaan Garis Singgung Lingkaran berpusat di (a,b) jari-jari r dan gradien m adalah $\dpi{100} \bg_white {\color{Red} (y-b)=m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}}$

$\begin{array}{rcl}(y-b) & = & m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}\\(y-5) & = & 7(x-4)\pm \sqrt{8}.\sqrt{7^2+1}\\y-5 & = & 7x-28\pm 20\\y-5=7x-28+20 & V & y-5=7x-28-20\\y-5-7x+28-20=0 & V & y-5-7x+28+20=0\\y-7x+3=0 & V & y-7x+43=0\end{array}$
Jika p dan q akar-akar persamaan $x^2-5x-1=0$ , maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p+1 dan 2q+1 adalah…
A. $x^2+10x+11=0$ B. $x^2+10x+11=0$
C. $x^2+10x+11=0$
D. $x^2+10x+11=0$
E. $x^2+10x+11=0$

Jawab:

Cara singkat kita cari invers dari salah satu akar-akar baru (2p+1) yaitu $\frac{p-1}{2}$ tinggal kita subtitusikan ke persamaan lama:
$\dpi{100} \bg_white \begin{align*}x^2-5x-1 & = & 0\\(\frac{p-1}{2})^2-5(\frac{p-1}{2})-1 & = & 0\\\frac{p^2-2p+1}{4}-\frac{5p-5}{2}-1 & = & 0\\\frac{p^2-2p+1-10p+10-4}{4} & = & 0\\p^2-12p+7 & = & 0\end{align*}$

sehingga persamaan kuadrat baru adalah $x^2-12x+7=0$
Diketahui matriks-matriks $A=\left[\begin{array}{cc}-c & 2\\1 & 0\end{array}\right]$ , $B=\left[\begin{array}{cc}4 & a\\b+5 & -6\end{array}\right]$ , $C=\left[\begin{array}{cc}-1 & 3\\0 & 2\end{array}\right]$ dan $D=\left[\begin{array}{cc}4 & b\\-2 & 3\end{array}\right]$ . Jika 2A-B = CD, maka nilai dari a + b + c = …
A. -6 B. -2
C. 0
D. 1
E. 8

Jawab:

$\begin{array}{rcl}2A-B & = & CD\\{2\left(\begin{array}{cc}-c & 2\\1 & 0\end{array}\right)}-{\left(\begin{array}{cc}4 & a\\b+5 & -6\end{array}\right)} & = & {\left(\begin{array}{cc}-1 & 3\\0 & 2\end{array}\right)}.{\left(\begin{array}{cc}4 & b\\-2 & 3\end{array}\right)}\\{\left(\begin{array}{cc}-2c & 4\\2 & 0\end{array}\right)}-{\left(\begin{array}{cc}4 & a\\b+5 & -6\end{array}\right)} & = & {\left(\begin{array}{cc}{-4-6} & {-b+9}\\-4 & 6\end{array}\right)}\\{\left(\begin{array}{cc}{-2c-4} & {4-a}\\{-b-3} & 6\end{array}\right)} & = & {\left(\begin{array}{cc}-10 & {-b+9}\\-4 & 6\end{array}\right)}\end{array}$

* perhatikan baris 1 kolom 1
$\begin{array}{rcl}-2c-4 & = & -10\\2c & = & 10-4\\c & = & 3\end{array}$
*perhatikan baris 2 kolom 1
$\begin{array}{rcl}-b-3 & = & -4\\b & = & 1\end{array}$
*perhatikan baris 1 kolom 2
$\begin{array}{rcl}4-a & = & -b+9\\4-a & = & -1+9\\a & = & -4\end{array}$
Sehingga
$\begin{array}{rcl}a+b+c & = & -4+1+3\\ & = & 0\end{array}$
Nilai dari $\dpi{100} \bg_white \frac{^{27}log\;9+^{2}log\;3.^{\sqrt3}log\;4}{^{3}log\;2-^{3}log\;18}$ = ….
A. $-\frac{14}{3}$ B. $-\frac{14}{6}$
C. $-\frac{10}{6}$
D. $\frac{14}{6}$
E. $\frac{14}{3}$

Jawab :

$\dpi{100} \bg_white \begin{align*}\frac{^{27}log\;9+^{2}log\;3.^{\sqrt{3}}log\;4}{^{3}log\;2-^{3}log\;18} & = & \frac{^{3^3}log\;3^2+^{2}log\;3.^{3^{\frac 12}}log\;2^2}{^{3}log\;(\frac{2}{18})}\\ & = & \frac{{\frac 23}(^{3}log\;3)+{\frac{2}{\frac 12}}.^{2}log\;3.^{3}log\;2}{^{3}log\;(\frac 19)}\\ & = & \frac{\frac 23+4(^2log\;2)}{^3log\;3^{-2}}\\ & = & \frac{\frac 23 +4}{-2}\\ & = & \frac{\frac 23+\frac{12}{3}}{-2}\\ & = & \frac{14}{3}.{(-\frac 12)}\\ & = & {-\frac{14}{6}}\end{align*}$
Bentuk sederhana dari $\dpi{100} \bg_white \frac{(5a^3b^{-2})^4}{(5a^{-4}b^{-5})^{-2}}$ adalah….
A. $5^6a^4b^{-18}$ B. $5^6a^4b^2$
C. $5^2a^4b^2$
D. $5^6ab^{-1}$
E. $5^6a^9b^{-1}$

Jawab:

$\begin{align*}\frac{(5a^3b^{-2})^4}{(5a^{-4}b^{-5})^{-2}} & = & (5^4a^{12}b^{-8})(5a^{-4}b^{-5})^2\\ & = & (5^4a^{12}b^{-8}).(5^2a^{-8}b^{-10})\\ & = & 5^6a^4b^{-18}\end{align*}$
Bentuk sederhana dari $\frac{6(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}{2+\sqrt6}$ = …

A. $24+12\sqrt6$
B. $-24+12\sqrt6$
C. $24-12\sqrt6$
D. $-24-\sqrt6$
E. $-24-12\sqrt6$

Jawab :

* lihat pembilang, ingat selalu $\dpi{100} \bg_white {\color{Red} (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}}$
* untuk merasionalkan penyebut, kita kalikan dengan sekawan penyebutnya :

$\begin{align*}\frac{6\left ( 3+\sqrt{5} \right )\left ( 3-\sqrt{5} \right )}{2+\sqrt{6}} & = & \frac{6(3^{2}-( \sqrt{5})^{2})}{2+\sqrt{6}}\;.\;\frac{2-\sqrt{6}}{2-\sqrt{6}}\\ & = & \frac{6(9-5).(2-\sqrt{6})}{2^{2}-(\sqrt{6})^{2}}\\ & = & \frac{24(2-\sqrt{6})}{4-6}\\ & = & \frac{24(2-\sqrt{6})}{-2}\\ & = & -12(2-\sqrt{6})\\ & = & -24+12\sqrt{6} \end{align*}$

Suku banyak $2x^3+ax^2+bx+2$ dibagi $(x+1)$ sisanya 6 dan dibagi $(x-2)$ sisanya 24. Nilai 2a – b = …

$\dpi{100} \bg_white F(x)$

$\dpi{100} \bg_white (x-h)$

$\dpi{100} \bg_white S=F(h)$

$F(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx+2$

$(x+1)$

h = -1

S = 6

$\begin{align*}F(h) & = S\\2(-1)^{3}+a(-1)^{2}+b(-1)+2 & = & 6\\-2+a-b+2 & = & 6\\a-b & = & 6 \end{align*}$

$(x-2)$

h = 2

S = 24

$\begin{align*}F(h) & = S\\2(2)^{3}+a(2)^{2}+b(2)+2 & = & 24\\16+4a+2b+2 & = & 24\\4a+2b & = & 6 \end{align*}$

$\begin{array}{rcl}4a+2b = 6 & [.\frac{1}{2}] & 2a+b = 3\\a-b = 6 & [.1] & \underline{\;\;a-b= 6}\;\;(+)\\ & \Leftrightarrow & 3a\;\;\;\;\;\;=9\\ & \Leftrightarrow & \;\;\;a\;\;\;\;\;=3\end{array}$

$\begin{align*}a-b & = & 6\\3-b & = & 6\\b & = & -3 \end{align*}$

Diketahui segitiga PQR dengan P(1, 5, 1) ; Q(3 , 4 , 1) dan R(2 , 2 , 1). Besar sudut PQR adalah….

$135^0$

$90^0$

$60^0$

$45^0$

$30^0$

$\dpi{100} \bg_white \bigtriangleup PQR$

$\dpi{100} \bg_white \angle PQR=\angle Q$

$\dpi{100} \bg_white \angle Q$

$\dpi{100} \bg_white \overrightarrow{QP}$

$\dpi{100} \bg_white \overrightarrow{QR}$

$\begin{align*}\overrightarrow{QP} & = & P-Q\\ & = & \begin{bmatrix} 1\\ 5\\ 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3\\ 4\\ 1 \end{bmatrix}\\\overrightarrow{QP} & = & \begin{bmatrix} -2\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}\end{align*}$

$\begin{align*}\overrightarrow{QR} & = & R-Q\\ & = & \begin{bmatrix} 2\\ 2\\ 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3\\ 4\\ 1 \end{bmatrix}\\\overrightarrow{QR} & = & \begin{bmatrix} -1\\ -2\\ 0 \end{bmatrix}\end{align*}$

$\begin{align*}cos\;\angle PQR & = & \frac{\overrightarrow{QP}.\overrightarrow{QR}}{\left \| QP \right \|\;.\;\left \| QR \right \|}\\ & = & \frac{(-2)(-1)+(1)(-2)+(0)(0)}{\sqrt{(-2)^2+(1)^2+(0)^2}\;.\;\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+(0)^2}}\\ & = & 0 \end{align*}$

$\dpi{100} \bg_white \begin{align*}cos\;\angle PQR & = & 0\\\angle PQR & = & 90^{\circ} \end{align*}$

Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, -1, -1) ; B(-1 , 4 , -2) dan C (5 , 0 , -3). Proyeksi vektor $\overrightarrow{AB}$ pada $\overrightarrow{AC}$ adalah…

$\dpi{100} \bg_white \frac 14(3\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k})$

$\dpi{100} \bg_white \frac{3}{14}(3\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k})$

$\dpi{100} \bg_white -\frac 17(3\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k})$

$\dpi{100} \bg_white -\frac{3}{14}(3\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k})$

$\dpi{100} \bg_white -\frac{3}{7}(3\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k})$

$\dpi{100} \bg_white \overrightarrow{AB}$

$\dpi{100} \bg_white \overrightarrow{AC}$

${\color{Red} d=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left \| \overrightarrow{AC} \right \|^2}.\;\;\overrightarrow{AC}}$

$\dpi{100} \bg_white \overrightarrow{AB}=B-A = \begin{bmatrix} -1\\ 4\\ -2 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2\\ -1\\ -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -3\\ 5\\ -1 \end{bmatrix}$

$\dpi{100} \bg_white \overrightarrow{AC}=C-A = \begin{bmatrix} 5\\ 0\\ -3 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2\\ -1\\ -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\ 1\\ -2 \end{bmatrix}$

$\dpi{100} \bg_white \begin{align*}d & = & \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left \| \overrightarrow{AC} \right \|^2}.\;\;\overrightarrow{AC}\\ & = & \frac{(-3)(3)+(5)(1)+(-1)(-2)}{\left ( \sqrt{3^2+1^2+(-2)^2} \right )^2}.\;\begin{bmatrix} 3\\ 1\\ -2 \end{bmatrix}\\ & = & \frac{-2}{14}\;.\;\begin{bmatrix} 3\\ 1\\ -2 \end{bmatrix}\\ & = & -\frac{1}{7}\;\;(3\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k})\end{align*}$

Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen!

Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah….

$\dpi{100} \bg_white y=\;^2log\;x$$

$\dpi{100} \bg_white y=\;^{\frac 12}\;log\;x$

$\dpi{100} \bg_white y=\;2.\;log\;x$

$\dpi{100} \bg_white y=\;-2.\;log\;x$

$\dpi{100} \bg_white y=-\frac 12.\;log\;x$

notasi logaritma

$\dpi{100} a^{x}=y\Leftrightarrow ^{a}log\;y=x$

$\dpi{100} \begin{align*}y=2^{-x} & \Leftrightarrow & ^{2}log\;y=-x\\ & \Leftrightarrow & -^{2}log\;y=x\\ & \Leftrightarrow & (\frac{1}{-1}).^{2}log\;y=x\\ & \Leftrightarrow & ^{2^{-1}}log\;y^{1}=x\\ & \Leftrightarrow & ^{\frac{1}{2}}log\;y=x \end{align*}$

$\dpi{100} y=\;^{\frac{1}{2}}log\;x$

Bayangan kurva $y=x^2-x+3$ yang ditransformasikan oleh matriks $\left[\begin{array}{cc}0 & -1\\1 & 0\end{array}\right]$ dilanjutkan oleh matriks $\left[\begin{array}{cc}-1 & 0\\0 & 1\end{array}\right]$ adalah…

$y=x^2+x+3$

$y=-x^2+x+3$

$x=y^2-y+3$

$x=y^2+y+3$

$x=-y^2+y+3$

$\begin{align*}\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} & = & \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\\ & = & \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\\\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} & = & \begin{bmatrix} y\\ x \end{bmatrix}\end{align*}$

$\dpi{100} \bg_white y=x^2-x+3$

$\dpi{100} \bg_white x'=y$

$\dpi{100} \bg_white y'=x$

$\dpi{100} \bg_white x'=y'\;^2-y'+3$

$\dpi{100} \bg_white x=y\;^2-y+3$

Luas daerah parkir 1.760 m² luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m² dan mobil besar 20 m². Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp 1000;/jam dan mobil besar Rp 2.000;/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka penghasilan maksimum tempat parkir adalah…

$\dpi{100} \bg_white \begin{array}{l}4x+20y\leq 1760\\x+y\leq 200\\f(x,y)=1000x+2000y \end{array}$

$\dpi{100} \bg_white 4x+20y=1760$

x	0	440
y	88	0

$\dpi{100} \bg_white x+y=200$

x	0	200
y	200	0

$\begin{array}{rcl}4x+20y=1760 & [.\frac 14] & x+5y=440\\x+y=200 & [.1] & \underline{x+y=200\;\;\;(-)}\\ & \Leftrightarrow & \;\;\;\;\;4y=240\\ & \Leftrightarrow & \;\;\;\;\;y\;\;=60 \end{array}$

y = 60 maka

$\dpi{100} \bg_white \begin{align*}x+y & = & 200\\x+60 & = & 200\\x & = & 140 \end{align*}$

$\dpi{100} \bg_white \begin{array}{lcl}A(0,88) \rightarrow f(0,88)=1000(0)+2000(88)=176000\\B(140,60)\rightarrow f(140,60)=1000(140)+2000(60)=260000\;\;({\color{Red} max})\\C(200,0)\rightarrow f(200,0)=1000(200)+2000(0)=200000\end{array}$

Perhatikan premis-premis berikut !

$\dpi{100} \begin{array}{rcl}p & \Rightarrow & q\\\underline{q} & \Rightarrow & \underline {r}\\\therefore \;\;p & \Rightarrow & r \end{array}$

saya giat belajar

saya boleh ikut bertanding

$\dpi{100} \bg_white {\color{Red} p}\Rightarrow {\color{Red} r}$

$\dpi{100} \bg_white \begin{array}{rcl}\sim({\color{red}&space;p}\Rightarrow&space;{\color{red}&space;r})&space;&&space;\equiv&space;&&space;{\color{red}&space;p}\;\wedge&space;\sim&space;{\color{red}&space;r}\\&space;&&space;\equiv&space;&&space;Saya\;giat\;&space;belajar&space;\;dan\;saya\;tidak\;boleh\;ikut\;bertanding.\end{array}$

Diketahui barisan aritmetika dengan Un adalah suku ke-n. Jika $U_2+U_{15}+U_{40}=165$ maka $U_{19}$ =…

$\dpi{100} U_n=a+(n-1)b$

$\dpi{100} \begin{align*}U_2+U_{15}+U_{40} & = & 165\\(a+b)+(a+14b)+(a+39b) & = & 165\\3a+54b & = & 165 \end{align*}$

$\dpi{100} a+18b\;=\;55$

$\dpi{100} U_{19}$

$\dpi{100} \begin{align*}U_{19} & = & a+18b\\ & = & 55 \end{align*}$

Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika dengan beda tiga. Jika suku kedua dikurangi 1, maka terbentuklah barisan geometri dengan jumlah 14. Rasio barisan tersebut adalah….